Probabilitat de 1515 Sí i 1515 No? 1.45%

Hi ha hagut comentaris sobre la probabilitat que 3030 votants votessin 1515 Sí i 1515 No. De fet el plantejament no passa d’un divertimento perquè parteix de la base que el vot seria aleatori (cosa que no crec que passés ahir). Suposant, però, que el vot sigui aleatori, el primer pensament és dir que pot passar un cop de 3030, i això dóna 0.00033 (un 0.03% de vegades)… però no és així. Imaginem que en comptes de 3030 fossin 4 votants i miréssim la probabilitat que sortís 2 a 2? Aplicant l’argument anterior  (1 entre 4) sortiria que és 0.25 (un 25%).

Mirem-ho més bé: pintem les 16 possibles situacions de vot (4 votants i cada un pot votar Sí o No donen 2^4 possibilitats). Per escriure-ho de forma compacte identifiquem el No amb un 0 i el Sí amb un 1. Aquestes són les 16 possibilitats (marcant en blau els empats):

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1

Tenim, doncs, 6 empats entre 16 possibilitats , i això dóna 6/16= 0.375 (un 37.5%), força més que el 25% que sortiria aplicant el raonament 1 entre 4. És el problema clàssic de quina és la probabilitat que surtin 2 cares i 2 creus tirant 4 vegades una moneda a l’aire. I això correspon a una probabilitat binomial: la probabilitat d’obtenir k resultats amb N esdeveniment és (on p és la probabilitat d’obtenir el resultat mesurat per k i q la d’obtenir l’altre resultat):

binomial_generic

En el nostre cas N valdria 3.030, k seria 1.515 i p i q les considerem igual i amb valor 0.5 (això és suposar molt, és clar). La fòrmula anterior amb aquests valors seria:

binomial_concret

No posaré les combinacions de 3030 vots (són 2^3030, un número de 912 dígits) però és clar, doncs, que la probabilitat d’empat no seria una entre 3030 com pot semblar a primer cop d’ull sinó que es calcula a partir d’una distribució binomial que el cas d’empat a 1515 seria de 1.45%… I compte: l’empat és també el resultat més probable (suposant aleatorietat, insisteixo, cosa que no té massa sentit…)

Comenta

*

(*) Camps obligatoris

L'enviament de comentaris implica l'acceptació de les normes d'ús